Question

7．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为$（3，\frac{π}{2}）$，若直线l过点P，且倾斜角为$\frac{π}{6}$，圆C以M为圆心，3为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
（II）把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+（y-3）²=9，利用参数的几何意义，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．（5分）
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+（y-3）²=9，得${t^2}+（\sqrt{3}-1）t-7=0$，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
∴t₁t₂=-7，则|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，∴|PA|•|PB|=7．（10分）

点评 本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题．