Question

12．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，则$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范围为[2，6]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，转化所求的表达式为二次函数的最值求解即可．

解答 解：x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，的可行域如图：
$\frac{y}{x}$的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1≤$\frac{y}{x}$≤k_OA，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，可得A（1，3），k_OA=3．
$\frac{y}{x}$∈[1，3]．
$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}-2•\frac{y}{x}$+3=（$\frac{y}{x}-1$）²+2.$\frac{y}{x}-1$∈[0，2]，

$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$∈[2，6]．
故答案为：[2，6]．

点评 本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．