Question

设曲线y=xn2+n （n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则数列{x_n}前10项和等于（　　）

• A．

  100

  11

• B．

  1

  11

• C．

  120

  11

• D．

  101

  10

Answer 1

分析：由y=xn2+n （n∈N^*），知y′=(n2+n)x n2+n^-1，当x=1时，y′=n²+1，故曲线y=xn2+n （n∈N^*）在点（1，1）处的切线为：y-1=（n²+n）（x-1），令y=0，得x_n=

1

n+1

-

1

n

+1，由此能求出数列{x_n}前10项和．

解答：解：∵y=xn2+n （n∈N^*），
∴y′=(n2+n)x n2+n^-1，
∴当x=1时，y′=n²+1，
∴曲线y=xn2+n （n∈N^*）在点（1，1）处的切线为：y-1=（n²+n）（x-1），
令y=0，得x=1-

1

n2+n

=

1

n+1

-

1

n

+1，
∴x_n=

1

n+1

-

1

n

+1，
∴数列{x_n}前10项和：S₁₀=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀
=（

1

2

-1+1）+（

1

3

-

1

2

+1）+（

1

4

-

1

3

+1）+…+（

1

11

-

1

10

+1）
=10×1+

1

11

-1=

100

11

．
故选A．

点评：本题考查数列的求和，是中档题．解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，合理地运用裂项公式进行求解．