Question

设椭圆C与双曲线D有共同的焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴的长的2倍，试求椭圆C与双曲线D交点的轨迹方程．

Answer 1

分析：设双曲线实半轴长a，则椭圆半长轴的长2a，由由双曲线、椭圆的定义求出|PF₁|与|PF₂|的关系，从而建立轨迹方程，并化简．

解答：解：∵椭圆C与双曲线D有共同的焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），椭圆的长轴长是双曲线实轴的长的2倍，
设双曲线实半轴长a，a＞0，则椭圆半长轴的长2a，椭圆C与双曲线D交点为点P，
则由双曲线、椭圆的定义得；|PF₁|-|PF₂|=±2a，|PF₁|+|PF₂|=4a．
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，或|PF₁|=a，|PF₂|=3a，
∴

|PF1|

|PF2|

=3，或

|PF1|

|PF2|

=

1

3

，即：

(x+4)2+y2

(x-4)2+y2

=3 或

1

3

，
∴所求的轨迹方程是：（x-5）²+y²=9，或（x+5）²+y²=9．

点评：本题考查双曲线、椭圆的定义，轨迹方程的求法，属于中档题．