Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{3x+1，x＜0}\end{array}\right.$则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（　　）

• A． （-$\frac{1}{3}$，0）
• B． （-$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，2）
• D． （-$\frac{1}{3}$，log₃2）

Answer 1

分析 令f（x）=t，原不等式即为f（t）＜4t+1，讨论t≥0时，f（t）=3^t＜1+4t，由y=3^x，y=4x+1的图象可得交点，结合指数函数的图象，可得0＜t＜2，运用分段函数，解不等式可得x的范围；讨论t＜0无解，即可得到所求解集．

解答 解：令f（x）=t，原不等式即为f（t）＜4t+1，
由t≥0时，f（t）=3^t＜1+4t，
由y=3^x，y=4x+1的图象可得交点为（0，1），（2，9），
由3^t＜1+4t，可得0＜t＜2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{0＜{3}^{x}＜2}\end{array}\right.$，解得0≤x＜log₃2；
由$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{0＜1+3x＜2}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}$＜x＜0．
可得-$\frac{1}{3}$＜x＜log₃2；
由t＜0时，f（t）=1+3t＜1+4t，
解得t无解．
综上可得原不等式的解集为（-$\frac{1}{3}$，log₃2）．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式，考查换元法的运用和指数函数的单调性和图象，考查运算能力，属于中档题．