Question

已知数列函数满足：S_n=3（1-a_n），数列{b_n}满足：b1=

32

7

，bn=4n-1-3

b

n-1

(n≥2)
（1）求a_n；
（2）设dn=

bn

4n

，求{d_n}的通项公式；
（3）令cn=dn-

1

7

，求u_n=3c_n²-4a_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2），利用递推公式可得S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1可求
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1，可得

bn

4n

=-

3

4

•

bn-1

4n-1

+

1

4

，从而可得dn=-

3

4

dn-1+

1

4

，则可构造(dn-

1

7

)=-

3

4

(dn-1-

1

7

)，结合等比数列的通项公式可求
（3）由cn=dn-

1

7

=(-

3

4

)n-1可得un=3[(-

3

4

)n-1]2-4•(

3

4

)n=3•(

3

4

)2(n-1)-3(

3

4

)n-1=3[(

3

4

)n-1-

1

2

]2-

3

4

，结合数列的单调性可求

解答：解：（1）S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2）
则S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1∴an=

3

4

an-1
当n=1时，S₁=3-3a₁=a₁∴a1=

3

4

∴{a_n}为等比数列，且a1=

3

4

，q=

3

4

∴a_n=

3

4

•(

3

4

)n-1=(

3

4

)n…（5分）
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2）得

bn

4n

=-

3

4

•

bn-1

4n-1

+

1

4

∵dn=

bn

4n

∴dn=-

3

4

dn-1+

1

4

（n≥2）(dn-

1

7

)=-

3

4

(dn-1-

1

7

)（n≥2）
∴(dn-

1

7

)为等比数列，且首项d 1-

1

7

=

b1

4

-

1

7

=

8

7

-

1

7

公比q=-

3

4

∴dn-

1

7

=(-

3

4

)n-1
∴dn=(-

3

4

)n-1+

1

7

…（9分）
（3）cn=dn-

1

7

=(-

3

4

)n-1则un=3[(-

3

4

)n-1]2-4•(

3

4

)n
=3•(

3

4

)2(n-1)-3(

3

4

)n-1=3[(

3

4

)n-1-

1

2

]2-

3

4

令u=(

3

4

)n-1＞0则
当0＜u≤

1

2

时，y为减函数，

1

2

＜u≤1时，y为增函数
又当n=2时，|(

3

4

)2-1-

1

2

|=

1

4

n=3时，|(

3

4

)3-1-

1

2

|=

1

16

n=4时，|(

3

4

)4-1-

1

2

|=

5

64

而

1

4

＞

5

64

＞

4

64

=

1

16

∴n=3时，|(

3

4

)n-1-

1

2

|最小
∴{u_n}的最小项为u3=3×(

1

16

)2-

3

4

=-

189

256

…（13分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求 数列的通项公式，构造特殊数列（等差，等比数列）求解数列的通项公式，利用数列的单调性求解数列 的最大（小）项，属于数列知识的综合应用，要求考生具备一定的应用知识分析问题，解决问题的能力．