Question

3．已知a∈R，函数f（x）=e^x-ax（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）若函数f（x）在区间（-e，-1）上是减函数，求a的取值范围；
（II）若函数F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）在区间（0，$\frac{1}{2}$）内无零点，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，分离参数a，由题意可得a＞e^x在（-e，-1）上恒成立，求出e^x在（-e，-1）上的范围得答案；
（Ⅱ）求出函数F（x），求其导函数F′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$，可知当a≤0时函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，可得F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）＞0，函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上无零点；当a＞0时，分0＜a≤4和a＞4分类分析，求得函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）内无零点的a的范围，则答案可求．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
∵函数f（x）在区间（-e，-1）上是减函数，
∴f′（x）=e^x-a＜0在（-e，-1）上恒成立，
∴a＞e^x在（-e，-1）上恒成立，
∵y=e^x在（-e，-1）上为增函数，
∴a＞e^-1=$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）=ax-2lnx-a，x∈$（{0，\frac{1}{2}}）$，
∴F′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$，
①当a≤0时，F′（x）＜0在（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
则F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{2}-2ln\frac{1}{2}-a$=ln4-$\frac{a}{2}$＞0，
∴a≤0时，函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上无零点；
②当a＞0时，令F'（x）=0得，x=$\frac{2}{a}$，
令F'（x）＞0，得x＞$\frac{2}{a}$，令F'（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
因此，函数F （x）的单调递增区间是（$\frac{2}{a}$，+∞），单调递减区间是（0，$\frac{2}{a}$）．
（ⅰ）当$\frac{2}{a}$≥$\frac{1}{2}$，即0＜a≤4时，
函数F（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{2}$），∴F（x）＞F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$a-2ln$\frac{1}{2}$-a=ln4-$\frac{a}{2}$，
要使函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）内无零点，则ln4-$\frac{a}{2}$≥0，得a≤4ln2；
（ii）当$\frac{2}{a}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞4时，
函数F （x）的单调递减区间是（0，$\frac{2}{a}$），单调递增区间是（$\frac{2}{a}$，$\frac{1}{2}$），
∴F（x）_min=F（$\frac{2}{a}$）=2-2ln$\frac{2}{a}$-a=2-ln4+2lna-a，
设g（a）=2-ln4+2lna-a
∴g′（a）=$\frac{2}{a}$-1=$\frac{2-a}{a}$＜0，
∴g（a）在（4，+∞）上单调递减，
∴g（a）＜g（4）=2-ln4+2ln4-4=ln4-2=2（ln2-lne）＜0，
而当x→0时，f（x）→+∞，
∴函数F（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）内有零点，不合题意．
综上，要使函数F（x）=f（x）-（e^x-2ax+2lnx+a）在区间（0，$\frac{1}{2}$）内无零点，则a的最大值为4ln2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是压轴题．