Question

8．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，
设g（x）=f′（x），g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）_min=g（1）=2，
∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．
（Ⅱ）设h（x）=（x+1）lnx-ax+a，
由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a=g（x）-a，
g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，
（1）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，
∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．
（2）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，
ω（1）=2-a＜0，ω（e^a）=1+e^-a＞0，
∴?x₀∈（1，e^a），使ω（x₀）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，
∴x∈（1，x₀），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，
∴当x∈（1，x₀时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．
综上，a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．