Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosϕ\\ y=bsinϕ\end{array}\right.$（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$对应的参数$ϕ=\frac{π}{3}$，射线$θ=\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点$D（{1，\frac{π}{3}}）$．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲线C₁上，求$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$及对应的参数$φ=\frac{π}{3}$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}\right.$，求出曲线C₁的方程，设圆C₂的半径为R，由题意，圆C₂的方程为ρ=2Rcosθ，（或（x-R）²+y²=R²）．由此能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由点A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲线C₁上，能求出$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

解答 解：（Ⅰ）将$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$及对应的参数$φ=\frac{π}{3}$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}1=acos\frac{π}{3}\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}=bsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，
所以曲线C₁的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），或$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
设圆C₂的半径为R，由题意，圆C₂的方程为ρ=2Rcosθ，（或（x-R）²+y²=R²）．
将点$D（{1，\frac{π}{3}}）$代入ρ=2Rcosθ，得$1=2Rcos\frac{π}{3}$，即R=1．
（或由$D（{1，\frac{π}{3}}）$，得$D（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，代入（x-R）²+y²=R²，得R=1），
所以曲线C₂的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）因为点A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲线C₁上，
所以$\frac{{ρ_1^2{{cos}^2}θ}}{4}+ρ_1^2{sin^2}θ=1$，$\frac{{ρ_2^2{{sin}^2}θ}}{4}+$$ρ_2^2{cos^2}θ=1$，
所以$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$（{\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{{sin}^2}θ}）$$+（{\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+{{cos}^2}θ}）=\frac{5}{4}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程、代数的和的求法，考查极坐标、直角坐标的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．