Question

1．设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，则$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$的取值范围是[$\frac{2}{5}$，2]．

Answer 1

分析 根据模长公式与数量积公式，求出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的值，再利用三角不等式求出|$\overrightarrow{a}$|的取值范围，即可计算$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$的取值范围．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^{2}$-${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$=4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=9-4=5，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{4}$；
又|2$\overrightarrow{a}$|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）|∈[3-2，3+2]=[1，5]，
∴|$\overrightarrow{a}$|∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
∴$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$∈[$\frac{2}{5}$，2]；
∴所求的取值范围是[$\frac{2}{5}$，2]．
故答案为：[$\frac{2}{5}$，2]．

点评 本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，也考查了不等式的应用问题，是基础题．