Question

如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

(Ⅰ)求证：AB⊥平面PCB；

(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角C－PA－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)∵PC平面ABC，平面ABC， 　　∴PCAB．　　　　　　　　　　2分 　　∵CD平面PAB，平面PAB， 　　∴CDAB．　　　　　　　　　　4分 　　又， 　　∴AB平面PCB．　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ)过点A作AF//BC，且AF＝BC，连结PF，CF． 　　则为异面直线PA与BC所成的角．　　　　　　　　6分 　　由(Ⅰ)可得AB⊥BC， 　　∴CFAF． 　　由三垂线定理，得PFAF． 　　则AF＝CF＝，PF＝， 　　在中，tan∠PAF＝＝， 　　∴异面直线PA与BC所成的角为．　　　　　　　　　　　　　9分 　　(Ⅲ)取AP的中点E，连结CE、DE． 　　∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝． 　　∵CD平面PAB， 　　由三垂线定理的逆定理，得DEPA． 　　∴为二面角C－PA－B的平面角．　　　　　　　　　　　　　11分 　　由(Ⅰ)AB平面PCB，又∵AB＝BC，可求得BC＝． 　　在中，PB＝， 　　． 　　在中，sin∠CED＝． 　　∴二面角C－PA－B的大小为arcsin．　　　　　　　　　　　　14分 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)AB平面PCB，∵PC＝AC＝2， 　　又∵AB＝BC，可求得BC＝． 　　以B为原点，如图建立坐标系． 　　则A(0，，0)，B(0，0，0)， 　　C(，0，0)，P(，0，2)． 　　，．　　　　　　　7分 　　则＋0＋0＝2． 　　＝＝． 　　∴异面直线AP与BC所成的角为．　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)． 　　，， 　　则即 　　解得令＝－1，得m＝(，0，－1)． 　　设平面PAC的法向量为n＝()． 　　，， 　　则即 　　解得令＝1，得n＝(1，1，0)．　　　　　　　　　　　12分 　　＝． 　　∴二面角C－PA－B的大小为arccos．　　　　　　　　　　　　14分