Question

1．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）由（1）可知△AEC∽△ACB，即可求AC的长．

解答 （1）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴CE⊥AD；
（2）解：由（1）可知△AEC∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AE•AB=（6-2）×6=24，
∴AC=2$\sqrt{6}$．

点评 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力．