Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4，记事件A为“函数f（x）满足条件：

f(2)≤12 f(-1)≤1

，则事件A发生的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：应用题,概率与统计

分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为：

2b+c≤8 -b+c≤0

，因此在同一坐标系内作出不等式组

0≤b≤4 0≤c≤4

和

2b+c≤8 -b+c≤0

对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．

解答： 解：∵f（x）=x²+bx+c，
由：

f(2)≤12 f(-1)≤1

⇒

2b+c≤8 -b+c≤0

，
以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，
将不等式组

0≤b≤4 0≤c≤4

和

2b+c≤8 -b+c≤0

，对应的平面区域作出，如图所示：
D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S_{正方形ODEF}=4×4=16，
不等式组

2b+c≤8 -b+c≤0

，对应的平面区域三角形OHF，
H的坐标为（

8

3

，

8

3

），∴S_△OHF=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

，
∴事件A发生的概率为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了几何概型的概率计算，求出事件所对应区域的面积是解题的关键．