Question

7．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，数列{b_n}满足b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ，当n=1时，上式成立，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$×3²-$\frac{3}{2}$=3，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$）=3ⁿ，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=3ⁿ；
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b_n+b_n+…+b_n，
=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$，．

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查利用“裂项法”求数列前n项和的应用，考查计算能力，属于中档题．