Question

11．已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*），满足$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若b_n=3^n-1，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=3^n-1，可得a_n=（2n-1）•3^n-1．利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=2，
∴数列{c_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴c_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=3^n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•3^n-1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1．
∴3S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
相减可得：-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ，
化为：S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．