Question

15．关于x的方程lg（ax-1）-lg（x-3）=1有解，则a的取值范围是a$＞\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质进行求解即可．

解答 解：∵lg（ax-1）-lg（x-3）=1，
∴lg（ax-1）=1+lg（x-3）=lg10（x-3），
即$\left\{\begin{array}{l}{ax-1＞0}\\{x-3＞0}\\{ax-1=10（x-3）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{ax＞1}\\{x＞3}\\{（10-a）x=29}\end{array}\right.$，
当a=0时，不成立；
若a＜0，不等式不成立；
当a＞0时，
不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{a}}\\{x＞3}\\{x=\frac{29}{10-a}}\end{array}\right.$，
若$\frac{1}{a}$≤3，即a≥$\frac{1}{3}$时，满足$\frac{29}{10-a}$＞3，即$\left\{\begin{array}{l}{10-a＞0}\\{29＞3（10-a）}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜10}\\{a＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即a$＞\frac{1}{3}$，此时a$＞\frac{1}{3}$，
若$\frac{1}{a}$＞3，即0＜a＜$\frac{1}{3}$时，满足$\frac{29}{10-a}$＞$\frac{1}{a}$，即29a＞10-a，即a$＞\frac{1}{3}$，此时a无解，
综上a$＞\frac{1}{3}$，
故答案为：a$＞\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查方程根的存在性问题，根据对数的运算法则结合不等式的范围，利用分类讨论数学思想是解决本题的关键．