Question

2．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列，令b_n=log₂a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n=S_n-S_n-1得出{a_n}为等比数列，根据a₁，a₃+1，a₄成等差数列列方程解出a₁即可得出a_n；
（2）求出c_n，使用错位相减法求和．

解答 解：（1）n≥2时，S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1．
∴{a_n}是以2为公比的等比数列，
∵a₁，a₃+1，a₄成等差数列，
∴a₁+8a₁=2（4a₁+1），解得a₁=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂2ⁿ=n，
∴c_n=n•2ⁿ．
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．
∴T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．