Question

过抛物线y²＝2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m，0)(m＞0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．

(1)试证明：A，B两点的纵坐标之积为定值；

(2)若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．

探究：本题第一问，涉及直线与抛物线的交点问题，求证的是这两个交点的纵坐标间的关系，不难想到联立直线与抛物线方程消去x，从而达到目的；对于第二问，容易想到将这三条直线的斜率，从而得到结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)有y1·y2＝－2pm，下证之： 　　设直线AB的方程为：x＝ty＋m与y2＝2px联立得y2＝2pxx＝ty＋m，消去x得，由根与系数间的关系，得y1·y2＝－2pm； 　　(2)解：三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之： 　　设点N(－m，n)，则直线－AN的斜率为kAN＝；直线BN的斜率为kBN＝， 　　∴kAN＋kBN＝ 　　＝2p· 　　＝2p· 　　＝2p·＝2p·， 　　又∵直线MN的斜率为 　　kMN＝，∴kAN＋kBN＝2kMN，即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．