Question

9．已知函数f（x）=（x²+mx）e^x（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当m=-2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=-2代入f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到g（x）=-（x+1）+$\frac{1}{x+1}$，求出函数g（x）的导数，从而求出m的范围即可；
（Ⅲ）假设f（x）单调，求出f（x）的导数，结合二次函数的性质判断即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=-2时，f（x）=（x²-2x）e^x，
f′（x）=（x²-2）e^x，
令f′（x）≥0，解得：x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）递增；
（Ⅱ）∵f′（x）=[x²+（m+2）x+m]e^x，
由题意得f′（x）≤0对于x∈[1，3]恒成立，
∴x²+（m+2）x+m≤0，即m≤-$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$=-（x+1）+$\frac{1}{x+1}$，
令g（x）=-（x+1）+$\frac{1}{x+1}$，则g′（x）=-1-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＜0恒成立，
∴g（x）在区间[1，3]递减，g（x）_min=g（3）=-$\frac{15}{4}$，
∴m的范围是（-∞，-$\frac{15}{4}$]；
（Ⅲ）假设f（x）为R上的单调函数，
①若f（x）在R递增，则f′（x）≥0对x∈R恒成立，
即[x²+（m+2）x+m]e^x≥0对x∈R恒成立，
∵e^x＞0，∴x²+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，
而△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，
不满足x²+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，
∴f（x）不是R上的单调递增函数；
②若f（x）在R递减，则f′（x）≤0对x∈R恒成立，
即[x²+（m+2）x+m]e^x≤0对x∈R恒成立，
∵e^x＞0，∴x²+（m+2）x+m≤0对x∈R恒成立，
而函数h（x）=x²+（m+2）x+m的图象是开口向上的抛物线，
故x²+（m+2）x+m≤0不可能恒成立，
∴f（x）不是R上的单调递减函数，
综上，不存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．