Question

20．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在球O的球面上，AA₁=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，BC=1，则球O的体积为（　　）

• A． $\frac{20}{3}π$
• B． $\frac{25}{3}π$
• C． $\frac{28}{3}π$
• D． $\frac{32}{3}π$

Answer 1

分析 画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半径，然后可求球的体积．

解答 解：如图，连接上下底面中心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，
∵∠BAC=30°，BC=1，在△ABC中，由正弦定理可得，
∴2r=AP=$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∴r=1
∵AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{1+3}$=2
所以球的体积为：$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32}{3}$π
故选D．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力和理解能力，是基础题．