Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x²-4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （1，$\frac{15}{4}$）
• C． （1，2）
• D． （2，$\frac{15}{4}$）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$的图象，从而由题意可得x²-4x=m有两个解，f（x）=a有三个都大于-4的解，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$的图象如右图，
∵x²-4x=m最多有两个解，f（x）=a最多有三个解，
∴当x²-4x=m有两个解，f（x）=a有三个解时，
方程f（x²-4x）=a有6个不同的实根；
若使f（x）=a有三个解，则2＜a；
若使x²-4x=m有两个解，则m＞-4；
故f（x）=a的三个解都大于-4；
故x＞-4，故-x+$\frac{1}{x}$＜$\frac{15}{4}$，可得a$＜\frac{15}{4}$，
故实数a的取值范围是：（2，$\frac{15}{4}$）．
故选：D．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用．