Question

13．运行如图所示的程序框图，将输出的a依次记作a₁，a₂，…，a_n，输出的b依次记作b₁，b₂，…，b_n，输出的S依次记作S₁，S₂，…S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$-$\frac{{1+{b_n}}}{a_n}$（n∈N^*，n≤2014）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，从而易得a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的通项公式可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=a_n•S_n，而S_n=S₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，从而可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，于是易求$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+{b}_{n}}{{a}_{n}}$（n∈N^*，n≤2014）的值；

解答 （本题满分为12分）               
解：（1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*，n≤2014）．…（4分）  
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，
当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=a_n•S_n，
此时，S_n=S₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+{b}_{n}}{{a}_{n}}$=0，
当n=1时，$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$-$\frac{1+{b}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{3}$-$\frac{1+1}{1}$=-1，
综上，$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{0}&{2≤n≤2014}\end{array}\right.$．…（12分）

点评 本题考查数列的求和，着重考查数列的递推式的应用，考查程序框图的理解与应用，突出等价转化思想与抽象思维能力的考查，属于难题．