Question

1．函数y=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}-2}$）的值域为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 显然需满足x²-2≥0，然后根据$x+\sqrt{{x}^{2}-2}＞0$便可得出x$≥\sqrt{2}$，并且$\sqrt{{x}^{2}-2}≥0$，从而由不等式的性质便可得出$x+\sqrt{{x}^{2}-2}≥\sqrt{2}$，这样由对数函数的单调性便可得出该函数的值域．

解答 解：解x²-2≥0得，$x≤-\sqrt{2}$，或$x≥\sqrt{2}$；
$x≤-\sqrt{2}$时，$\sqrt{{x}^{2}-2}＜\sqrt{{x}^{2}}=-x$；
∴$x+\sqrt{{x}^{2}-2}＜0$；
∴$x≥\sqrt{2}$，且$\sqrt{{x}^{2}-2}≥0$；
∴$x+\sqrt{{x}^{2}-2}≥\sqrt{2}$；
又函数y=log₂x为增函数；
∴$y≥lo{g}_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}$；
∴该函数的值域为$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为：[$\frac{1}{2}，+∞$）．

点评 考查一元二次不等式的解法，对数中的真数需满足大于0，被开方数大于等于0，能判断x+$\sqrt{{x}^{2}-2}$的符号，以及不等式的性质，对数函数的单调性．