Question

已知点P（

1

2

，0）和圆Q：4x²+4x+4y²-31=0，圆E过点P且与圆Q内切，求圆心E的轨迹G的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：化圆的一般式为标准式，求出圆心和半径，利用点P（

1

2

，0）和圆Q：4x²+4x+4y²-31=0，圆E过点P且与圆Q内切，可得|EP|+|EQ|=2

2

＞1，从而圆心E的轨迹G是以P，Q为焦点的椭圆，且2a=2

2

，c=

1

2

，求出b，即可求出圆心E的轨迹G的方程．

解答： 解：设动圆圆心的坐标为（x，y），由4x²+4x+4y²-31=0得：（x+

1

2

）²+y²=8，
圆心为E（-

1

2

，0），半径为2

2

．
∴点P（

1

2

，0）和圆Q：4x²+4x+4y²-31=0，圆E过点P且与圆Q内切，
∴|EP|+|EQ|=2

2

＞1，
∴圆心E的轨迹G是以P，Q为焦点的椭圆，且2a=2

2

，c=

1

2

，
∴a=

2

，b=

7

2

，
∴圆心E的轨迹G的方程为

x2

2

+

y2

7 4

=1．

点评：本题考查了轨迹方程，解答的关键是确定圆心E的轨迹G是以P，Q为焦点的椭圆，考查了学生的运算能力，是中档题．