Question

3．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M-CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．
（1）求证：GH∥平面DEM；
（2）求证：EM⊥CN；
（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH∥平面DEM；
（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{EM}$和$\overrightarrow{NC}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{NC}$=0得出EM⊥CN；
（3）求出$\overrightarrow{HG}$和平面NFC的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{HG}，\overrightarrow{n}$＞|，从而得出所求线面角的大小．

解答 证明：（1）连结NG，EN，
∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=$\frac{1}{2}$CD．
∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=$\frac{1}{2}$CD
∴NG∥EH，NG=EH，
∴四边形ENGH是平行四边形，
∴GH∥EN，又GH?平面DEM，EN?平面DEM，
∴GH∥平面DEM．
（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形
∴MH⊥EF，
取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，
∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，
∴DE⊥平面MEF，
∴PH⊥平面MEF．
以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则E（0，-1，0），M（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，2），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{EM}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{NC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{NC}$=$\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$+1×$\frac{3}{2}$+0×1=0．
∴$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{NC}$．
∴EM⊥NC．
（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{HG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{FC}$=（0，0，2），$\overrightarrow{NC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1），
设平面NFC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$．
令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{HG}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{HG}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线GH与平面NFC所成角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．