Question

（1）a，b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|，
（2）已知 |x-a|＜

c

2

，|y-b|＜

c

2

，求证|（x+y）-（a+b）|＜c．

Answer 1

证明：（1）当|a|-|b|≤0时，|a+b|≥|a|-|b|成立，
当|a|-|b|＞0时，即证明|a+b|²≥（|a|-|b|）²，
整理得 a²+b²+2ab≥a²+b²-2|ab|．
即证ab≥-|ab|
易知上不等式成立，
所以原不等式也成立．
综上，|a+b|≥|a|-|b|，
（2）∵|（x+y）-（a+b）|=|（x-a）+（y-b）|
由三角不等式得，|（x-a）+（y-b）|≤|x-a|+|y-b|＜

c

2

+

c

2

=c．
∴|（x+y）-（a+b）|＜c．