Question

17．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点为F，B为其左支上一点，线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A，且$（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OA}=0$，$2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}$（O为坐标原点），则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意，OA垂直平分BF，设F（c，0），B（m，n），运用点关于直线对称的特点，由中点坐标公式和垂直的条件解得m，n，代入双曲线方程，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．

解答 解：由题意，OA垂直平分BF，
设F（c，0），B（m，n），
则$\frac{n-0}{m-c}=-\frac{a}{b}$，且$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{b}{a}$c+m），
解得m=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
将B代入双曲线方程，$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，b²=c²-a²．
化简整理可得，c²=5a²，
∴e=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查点关于直线对称的性质，考查运算能力，属于中档题．