Question

6．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．（a＞1）
（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{5}{2}$}，求a的值；
（2）?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；
（2）问题转化为：2|x-1|+|x-a|≥1．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=|x-1|+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}2x-a-1，x≥a\\ a-1，1≤x＜a\\-2x+a+1，x＜1\end{array}\right.$，
x≥a时，2x-a-1≥2得$x≥\frac{a+3}{2}=\frac{5}{2}$，
x＜1时，-2x+a+1≥2得$x≤\frac{a-1}{2}=\frac{1}{2}$
综上得：a=2．                                            
（2）由x∈R，f（x）+|x-1|≥1可得2|x-1|+|x-a|≥1．
当x≥a时，只要3x-2-a≥1恒成立即可，此时只要$3a-2-a≥1⇒a≥\frac{3}{2}$；
当1＜x≤a时，只要x-2+a≥1恒成立即可，此时只要1-2+a≥1⇒a≥2；
当x＜1时，只要-3x+2+a≥1恒成立即可，此时只要-3+2+a≥1⇒a≥2，
综上a∈[2，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．