题目内容
14．已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB．
（2）求|AB|．
分析 （1）先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y1+y2和y1y2的值，进而根据直线方程求得x1x2的值，利用x1x2+y1y2=0，证明OA⊥OB．
（2）利用弦长公式求|AB|．
解答 （1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与抛物线方程得y2-2y-4=0
∴y1+y2=2，y1y2=-4
∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，
∴x1x2+y1y2=0，
∴OA⊥OB．
（2）解：直线方程代入抛物线方程整理得：x2-6x+4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=6，x1x2=4，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{10}$．
点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．解决的常用即为联立方程，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．
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| A． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$和 $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{3}=1$ | B． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$和 ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$ | ||
| C． | ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$和 ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ | D． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$和$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=-1$ |