Question

4．数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的n∈N^*都有：a_n+1=a_n+n+1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2015}{1008}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{4032}{2017}$

Answer 1

分析 根据数列的递推公式，利用累加法求出数列的通项公式，结合列项法进行求和即可．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，∴a_n+1-a_n=n+1，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=n，
等式两边同时相加得a_n-a₁=2+3+4+…+n，
即a_n=a₁+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2（1-$\frac{1}{2017}$）=2×$\frac{2016}{2017}$=$\frac{4032}{2017}$，
故选：D

点评 本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键．