Question

14．已知圆锥双曲线E：x²-y²=1．
（Ⅰ）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线y=kx-1与曲线E'相交于A，B两点，求k的取值范围；
（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，如果$\overrightarrow{AB}=6\sqrt{3}$，且曲线E'上存在点C，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线AB代入双曲线方程，由题意，列不等式组，即可取得k的取值范围；
（Ⅱ）利用弦长公式求得k的值，根据向量向量的坐标运算，求得C点坐标，代入曲线E'上，即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组；$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}-{y^2}=1（{x＜0}）\end{array}\right.$，整理得：（1-k²）x²+2kx-2=0（x＜0）
从而有：$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△={（{2k}）^2}+8k＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}＜0\\{x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{1-{k^2}}}＞0\end{array}\right.$，解得：-$\sqrt{2}$＜k＜-1，
∴k的取值范围（-$\sqrt{2}$，-1）；
（Ⅱ）丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₁丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}$=$2\sqrt{\frac{{（{1+{k^2}}）（{2-{k^2}}）}}{{{{（{1-{k^2}}）}^2}}}}$=6$\sqrt{3}$，
整理得28k⁴-55k²+25=0，k²=$\frac{5}{7}$或${k^2}=\frac{5}{4}$，
注意到$-\sqrt{2}＜k＜-1$，所以$k=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，故直线AB的方程为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}x+y+1=0$，
设C（x₀，y₀），由已知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，则（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀），
又${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}$=$-4\sqrt{5}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=8，所以$C（{\frac{{-4\sqrt{5}}}{m}，\frac{8}{m}}）$．C在曲线E'上，得$\frac{80}{m^2}-\frac{64}{m^2}=1$，解得：m=±4
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以m=4为所求．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．