Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂（k₁•k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k₁|+|k₂|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意，可设点M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．
∴$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{q}^{2}}{{b}^{2}}=1$，且$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
两式相减得$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
再由斜率公式得：k₁k₂=$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
∵|k₁|+|k₂|$≥\frac{2b}{a}$
根据|k₁|+|k₂|的最小值为1，可知$\frac{2b}{a}=1$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关键．