Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（a_n，2），$\overrightarrow{b}$=（a_n+1，$\frac{2}{5}$），且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_n=（　　）

• A． $\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]
• B． $\frac{1}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]
• C． $\frac{1}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）^n-1]
• D． $\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）^n-1]

Answer 1

分析 根据题意，由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$结合向量平行的坐标表示方法可得2a_n+1=$\frac{2}{5}$×a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$，由等比数列的定义可得数列{a_n}为首项a₁=1，公比为$\frac{1}{5}$的等比数列，由等比数列前n项和公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n，2），$\overrightarrow{b}$=（a_n+1，$\frac{2}{5}$），
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则有2a_n+1=$\frac{2}{5}$×a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$，
则数列{a_n}为首项a₁=1，公比为$\frac{1}{5}$的等比数列，
则其前n项和为S_n=$\frac{1[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{5}{4}$[1-（$\frac{1}{5}$）ⁿ]，
故选：A．

点评 本题考查等比数列的前n项和，关键是由向量平行的坐标表示方法得到数列{a_n}为等比数列．