Question

已知抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F在上双曲线：

x2

3

-

y2

6

=1的右准线上，抛物线与直线l：y=k（x-2）（k≠0）交于A、B两点，AF、BF的延长线与抛物线交于C、D两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线CD恒过一定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），由此能求出抛物线的方程．
（2）设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），由

y2=4x y=k(x-2)

，得ky²-4y-8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识能求出CD直线恒过定点．

解答： （1）解：∵双曲线：

x2

3

-

y2

6

=1的右准线的方程为x=1，
抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F在上双曲线：

x2

3

-

y2

6

=1的右准线上，
∴焦点F（1，0），
∴抛物线的方程为y²=4x．
（2）证明：设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），
由

y2=4x y=k(x-2)

，得ky²-4y-8k=0，
△=16+32k²＞0，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8，
设C（

y32

4

，y₃），则

FA

=（

y12

4

-1，y1），

FC

=(

y32

4

-1，y3)，
∵A，F，C共线，∴(

y12

4

-1)y3-y1(

y32

4

-1)=0，
∴(y1-y3)(

y1y3

4

+1)=0，
解得y₃=y₁（舍），或y3=-

4

y1

，
∴C（

4

y12

，-

4

y1

），同理，D（

4

y22

，-

4

y2

），
∴CD的方程为y+

4

y1

=

- 4 y1 + 4 y2

4 y12 - 4 y22

（x-

4

y12

），
即y=-

y1y2

y1+y2

x-

4

y1+y2

，即y=2k（x-

1

2

），
故CD直线恒过定点（

1

2

，0）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意双曲线、抛物线、直线方程等知识点的合理运用．