Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0）．
（1）若a=1，b=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c，使f（x）在$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）首先由f（x₁）=f（x₂）代入f（x）整理可得a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0；再化简可得f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）≠0；最后判断出不存在这样的实数a，b，c满足条件．

解答 解：（1）当a=1，b=1时，f（x）=x³+x²-x+c，f（x）的定义域为R，
f′（x）=3x²+2x-1，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞$\frac{1}{3}$；由f′（x）＜0，得-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}$，+∞），
f（x）的单调递减区间是（-1，$\frac{1}{3}$）；
（2）不存在实数a，b，c满足条件．
事实上，由f（x₁）=f（x₂）得：a（x₁³-x₂³）+b（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=0
∵x₁≠x₂∴a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0
又f'（x）=3ax²+2bx-1
∴f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=3a（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）²+2b•$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$-1
=3a•$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{+x}_{2}}^{2}+{{2x}_{1}x}_{2}}{4}$+1-a（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$）-1=-$\frac{a}{4}$（x₁-x₂）²
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）≠0，
故不存在实数a，b，c满足条件．

点评 本题考查了函数单调性与其导数的关系，及导数的几何意义等基本知识；同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力．