Question

17．（1）若|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|（a∈R）的解集包含集合[$\frac{1}{2}$，1]，求实数a的取值范围．
（2）已知a＞0，b＞0，求证：a²b²+a²+b²≥ab（a+b+1）．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=|x-a|+|2x-1|，由题意可得当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，化简可得x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，可得（x-2）_max≤a≤（x+2）_min，求得最值，即可得到a的范围；
（2）运用基本不等式，可得a²b²+a²≥2a²b，a²b²+b²≥2ab²，a²+b²≥2ab，累加即可得证．

解答 解：（1）设f（x）=|x-a|+|2x-1|，
即有f（x）≤|2x+1|的解集包含$[\frac{1}{2}，1]$，
当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，
可得|x-a|+2x-1≤2x+1，
即|x-a|≤2，即-2≤x-a≤2，
即x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，
可得（x-2）_max≤a≤（x+2）_min，
即有$-1≤a≤\frac{5}{2}$，
则a的取值范围是$[-1，\frac{5}{2}]$；                                   
证明：（2）由均值不等式可得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}{b^2}+{a^2}≥2{a^2}b\\{a^2}{b^2}+{b^2}≥2a{b^2}\\{a^2}+{b^2}≥2ab\end{array}\right.$，
三式相加：2（a²b²+a²+b²）≥2（a²b+ab²+ab），
即a²b²+a²+b²≥a²b+ab²+ab=ab（a+b+1），
当且仅当a=b=1，取得等号．

点评 本题考查不等式的解法和证明，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简整理和推理能力，属于中档题．