Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x．
（1）若α（α∈[0，π]）为函数f（x）的零点，求α的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化一，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）在[0，π]上的零点，继而求出α的值．
（2）由（1）可得函数解析式，利用三角函数的图象及性质求出f（x）的最小正周期和值域．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵α为函数f（x）的零点，∴f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=0
∴$2α+\frac{π}{3}=kπ\\;k∈Z$  k∈Z，∴$α=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z
又∵α∈[0，π]，故$α=\frac{π}{3}$或$α=\frac{5π}{6}$．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
故最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，值域为[-2，2]．

点评 本题考查了利用化一公式进行化简函数，利用性质求零点，利用公式求周期与值域，属于中档题．