Question

3．三棱锥A-BCD中，AB=CD=2$\sqrt{2}$，AC=BD=AD=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=4，则三棱锥A-BCD外接球的体积为（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{32}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． 12π

Answer 1

分析 先求出BC，可得三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，把它扩展为长方体，它也外接于球，求出外接球半径，可得三棱锥A-BCD外接球的体积．

解答 解：∵CD=2$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=4，
∴2$\sqrt{2}•2\sqrt{3}•cos∠BDC$=4，
∴cos∠BDC=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，
∴BC=$\sqrt{8+12-2•2\sqrt{2}•2\sqrt{3}•\frac{1}{\sqrt{6}}}$=2$\sqrt{3}$，
∴三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$
体对角线的长为球的直径，d=$\sqrt{\frac{1}{2}（8+12+12）}$=4
∴它的外接球半径是2
∴三棱锥A-BCD外接球的体积为$\frac{4}{3}π•4$=$\frac{16}{3}π$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥A-BCD外接球的体积，球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题．