Question

8．2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如表：
甲系列：

动作	K		D
得分	100	80	40	10
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

乙系列：

动作	K		D
得分	90	50	20	0
概率	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

（Ⅰ）现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分．若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；
（II）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX．

Answer 1

分析 （I）若运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列，选择甲系列最高得分为100+40=140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90+20=110＜118，不可能获得第一名，记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，记“该运动员获得第一名”为事件C，根据P（C）=P（AB）+P（$\overline{A}$B）从而求出该运动员得第一名的概率；
（II）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答 解：（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．
理由如下：选择甲系列最高得分为100+40=140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90+20=110＜118，不可能获得第一名．
记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40（分）”为事件B，则P （A）=$\frac{3}{4}$，P （B）=$\frac{3}{4}$． 
记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得P（C）=P（AB）+$P\;（\overline AB）$=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．
该运动员获得第一名的概率为$\frac{3}{4}$．
（II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，
则P （X=50）=$\frac{1}{10}×\frac{1}{10}$=$\frac{1}{100}$，P （X=70）=$\frac{1}{10}×\frac{9}{10}$=$\frac{9}{100}$，P （X=90）=$\frac{9}{10}×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P （X=110）=$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}$=$\frac{81}{100}$．
X的分布列为：

X	50	70	90	110
P	$\frac{1}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{81}{100}$

∴EX=50×$\frac{1}{100}$+70×$\frac{9}{100}$+90×$\frac{9}{100}$+110×$\frac{81}{100}$=104．

点评 本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及相互独立事件的概率乘法公式，同时考查了计算能力，属于中档题．