Question

20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：c=$\sqrt{3}$，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出；
（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x₀，y₀）．线段OO′的中点D的坐标为$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，由题意可知：$\frac{{y}_{0}}{2}$=k$•\frac{{x}_{0}}{2}$+2，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×k=-1，联立解出即可得出．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：c=$\sqrt{3}$，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
联立解得：c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．
设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x₀，y₀）．
则线段OO′的中点D的坐标为$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，
由题意可知：点D在直线l上，故有$\frac{{y}_{0}}{2}$=k$•\frac{{x}_{0}}{2}$+2，①
点O在椭圆C上，故有$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，②
线段OO′与直线l垂直，故有$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×k=-1，③
由①③可得：x₀=-$\frac{4k}{{k}^{2}+1}$，${y}_{0}=\frac{4}{{k}^{2}+1}$，将其代入②可得：k=$±\sqrt{5}$．
故所求直线l的方程为：y=$±\sqrt{5}$x+2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段的垂直平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．