Question

6．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x-35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．

	甲	乙	丙	丁
物理成绩（x）	75	m	80	85
化学成绩（y）	80	n	85	95
综合素质 （x+y）	155	160	165	180

（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；
（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出物理与化学的平均值，代入回归直线方程，然后求解即可．
（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）由已知可得，$\overline y=\frac{n+260}{4}，\overline x=\frac{m+240}{4}$，因为回归直线 y=1.5x-35过点样本中心，
所以$\frac{n+260}{4}=1.5×\frac{m+240}{4}-35$，∴3m-2n=80，
又m+n=160，解得m=80，n=80．
（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．
获得一枚荣誉奖章的概率P=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{5}{6}$，ξ～B（3，$\frac{5}{6}$），P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{6}）^{3}$=$\frac{1}{216}$；
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{5}{6}×（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{72}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}×（\frac{5}{6}）^{3}$=$\frac{125}{216}$，
所以预测ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{125}{216}$

故预测Eξ=nP=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查随机变量的分布列以及期望的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．