Question

3．设函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数的递减区间．

Answer 1

分析 （1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解；
（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

解答 解：（1）由题意知f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=x³+ax²+bx  f'（x）=3x²+2ax+b
又∵f'（x）=b=0
∴f'（x）=3x²+2ax=0
故极小值点为x=-$\frac{2a}{3}$，
∴f（-$\frac{2a}{3}$）=-4，∴${（-\frac{2}{3}a）}^{3}$+a${（-\frac{2}{3}a）}^{2}$=-4，
解得：a=-3；
（2）令f'（x）＜0  即：3x²-6x＜0，
解得：0＜x＜2，
∴函数的递减区间为（0，2）．

点评 本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间，要注意从图象中得到有价值的结论，属于基础题．