Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA-bsinC=0．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，b+c=5，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2csinBcosA-bsinC=0及正弦定理求得2cosA=1，即$cosA=\frac{1}{2}$，从而求得A的值．
（Ⅱ）由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，求得bc=4，再由余弦定理求得a²的值，可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由2csinBcosA-bsinC=0及正弦定理得：2sinCsinBcosA-sinBsinC=0，
∵0＜B＜π，0＜C＜π，sinBsinC≠0，
∴2cosA=1，即$cosA=\frac{1}{2}$．
又0＜A＜π，$A=\frac{π}{3}$．  
（Ⅱ）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，又∵$A=\frac{π}{3}$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴bc=4，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=25-12=13，
∴$a=\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．