Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer 1

根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴

4

sin(π-3C)

=

8

sin2C+sinC

，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]
结合sinC＞0，化简整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=

3

4

或cosC=-

1

2

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，
∴cosC=-

1

2

不符合题意，舍去
根据余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，
∴

a2+42-(8-a)2

2×a×4

=

3

4

，解之得a=

24

5

，c=8-a=

16

5

综上，a、c的长分别为

24

5

、

16

5

．