Question

17．用拉格朗日中值定理证明不等式：$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

Answer 1

分析 拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x₀，使得f′（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．令g（t）=lnt，t∈（a，b），则g（t）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在t₀∈（a，b），使g′（t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$，由函数g′（t）=$\frac{1}{t}$的性质，令$\frac{b}{a}$=1+x，即可证得结果．

解答 证明：设g（t）=lnt，t∈（a，b），
则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在t₀∈（a，b），
使g′（t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$，
因为g′（t）=$\frac{1}{t}$，由t∈（a，b），0＜a＜b，
可知g′（t）∈（$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$），b-a＞0，
即$\frac{1}{b}$＜g′t₀）=$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$，
可得$\frac{1}{b}$＜$\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$=$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$，
即有$\frac{b-a}{b}$＜ln$\frac{b}{a}$＜$\frac{b-a}{a}$，
令$\frac{b}{a}$=1+x，可得x=$\frac{b}{a}$-1，
即有$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用拉格朗日中值定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．