Question

16．△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow n=（sinB，-cosA）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．
（1）求A；
（2）若$a=\frac{7}{2}$，△ABC的面积为$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）通过已知及平面向量数量积的坐标运算可得$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanA的值，结合特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（2）利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理利用配方法可求b+c的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，
∴$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
由正弦定理知$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
又sinB≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面积$S=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
又∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$，$A=\frac{π}{3}$，
∴bc=6
∵由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
又∵$a=\frac{7}{2}$，bc=6，
∴解得：$b+c=\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，涉及三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于基础题．