Question

1．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求：
（Ⅰ）点A和点C的坐标；
（Ⅱ）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出A点的坐标，求出AB的斜率，得到直线AC的方程，从而求出B点的坐标；（Ⅱ）求出|BC|的长，再求出A到BC的距离，从而求出三角形的面积即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ y=0.\end{array}\right.$得顶点A（-1，0）．-------（1分）
又AB的斜率 k_AB=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1．-------------------------------（2分）
∵x轴是∠A的平分线，
故AC的斜率为-1，AC所在直线的方程为y=-（x+1）①------（4分）
已知BC上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，故BC的斜率为-2，
BC所在的直线方程为y-2=-2（x-1）②--------------（6分）
解①，②得顶点C的坐标为（5，-6）．----------（7分）
（Ⅱ）$|{BC}|=\sqrt{{{（{1-5}）}^2}+{{（{2+6}）}^2}}=4\sqrt{5}$------------------（8分）
又直线BC的方程是2x+y-4=0
A到直线的距离$d=\frac{{|{-2-4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$-----------------------------（10分）
所以△ABC 的面积=$\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\frac{6}{{\sqrt{5}}}=12$------------------（12分）

点评 本题考察了求直线的斜率、方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．