Question

19．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$]．
（1）判断g（x）=x³是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；
（2）若$h（x）=\sqrt{x-1}+t∈M$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以看出g（x）为增函数，满足条件①，而方程${x}^{3}=\frac{x}{2}$有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明g（x）属于M，且可写出所有满足②的区间[a，b]；
（2）h（x）属于M，从而有方程$\sqrt{x-1}+t=\frac{x}{2}$至少有两个不同的实数根，从而得到$\sqrt{x-1}=\frac{x}{2}-t$，两边平方并整理可得$\frac{{x}^{2}}{4}-（t+1）x+{t}^{2}+1=0$，从而△=2t＞0，得到t＞0，而$\frac{x}{2}-t≥0$即t$≤\frac{x}{2}$恒成立，且x≥1，从而又得到t$≤\frac{1}{2}$，这样便可得出实数t的取值范围．

解答 解：（1）g（x）=x³在R上为增函数，满足性质①；
解${x}^{3}=\frac{x}{2}$得，x=0，或x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴满足性质②；
∴g（x）属于M，且满足②的区间[a，b]为[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，0$]，[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，或[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）h（x）在定义域内单调递增，满足①；
∵h（x）∈M；
∴h（x）满足②；
∴方程$\sqrt{x-1}+t=\frac{x}{2}$至少有两个解；
∴$\sqrt{x-1}=\frac{x}{2}-t$（Ⅰ）；
∴$x-1=\frac{{x}^{2}}{4}-tx+{t}^{2}$；
∴$\frac{{x}^{2}}{4}-（t+1）x+{t}^{2}+1=0$有两个不同实数根；
∴△=（t+1）²-（t²+1）=2t＞0；
∴t＞0；
由（Ⅰ）知，$\frac{x}{2}-t≥0$恒成立；
∴$t≤\frac{x}{2}$，x≥1；
∴$t≤\frac{1}{2}$；
∴$0＜t≤\frac{1}{2}$；
∴实数t的取值范围为$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 考查函数单调性的定义，函数值域的定义，f（x）满足性质②便说明方程f（x）=$\frac{x}{2}$至少有两个不同解，以及一元二次方程实数根的个数和判别式△的关系．