Question

（本小题满分14分）已知数列中，，其前项和满足．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）设（为非零整数，），是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立．若存在求出的值，若不存在说明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）λ=﹣1；

【解析】

试题分析：1．错位相减法求和的方法为：:设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q≠1）设Sn＝a1b1＋a2b2＋ ＋anbn①，则qSn＝a1b2＋a2b3＋ ＋an－1bn＋anbn＋1②，

①－②得：（1－q）Sn＝a1b2＋d（b2＋ ＋bn）－anbn+1，进而转化为等比数列求和的问题．

错位相减法是数列求和的一种重要方法，是高考中的热点问题，值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．

试题解析：

（Ⅰ）证明：由已知，,

即（n≥2，n∈N*），且．

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，

∴． （3分）

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知， 4分

设它的前n项和为

∴

两式相减可得：

所以 7分

（Ⅲ）【解析】
∵，∴， 8分

要使恒成立，则恒成立

∴恒成立，

∴恒成立． 10分

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，∴λ＜1．

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣恒成立，当且仅当n=2时，﹣有最大值

﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．

综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有． 14分

考点：等差数列定义、通项、数列求和等综合应用．