Question

17．已知函数f（x），（x∈R）的图象上任意一点（x₀，y₀）处的切线方程为y=（x₀-1）（x₀²-4）（x-x₀）+f（x₀），那么f（x）的单调减区间为（-∞，-2）∪（1，2）．

Answer 1

分析 由题意，结合点斜式方程可得，f（x）的导数为f′（x）=（x-1）（x²-4），令导数小于0，运用二次不等式的解法，计算即可得到所求减区间．

解答 解：由图象上任意一点（x₀，y₀）处的切线方程为
y=（x₀-1）（x₀²-4）（x-x₀）+f（x₀），
由点斜式方程可得，
f（x）的导数为f′（x）=（x-1）（x²-4），
由f′（x）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{{x}^{2}-4＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{{x}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{-2＜x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞2或x＜-2}\end{array}\right.$，
即1＜x＜2或x＜-2．
故答案为：（-∞，-2）∪（1，2）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．